Le modèle Ehrenfest (ou chien-puce modèle [1]) de diffusion a été proposé par Tatiana et Paul Ehrenfest pour expliquer la deuxième loi de la thermodynamique. Le modèle considère les particules N dans deux récipients. Les particules changent indépendamment le récipient à un taux λ. Si X (t) = i est défini comme étant le nombre de particules dans un récipient au moment t, alors c`est un processus de naissance-mort avec des taux de transition en supposant que les molécules sont indiscernables (une hypothèse assez standard de tout traitement quantique), alors l`ensemble des États est tout simplement ensemble d`entiers $ leftlbrace 0, 1, dots, N rightrbrace $, représentant le nombre de molécules dans le conteneur A. Parce qu`à chaque époque une seule molécule doit faire une transition à travers l`ouverture, il s`ensuit que la fonction de probabilité de transition peut être dérivée des probabilités de choisir une molécule au hasard, dont la seule caractéristique distinguée est le récipient dont il provient; ainsi $ $ pleft (left. X_ {n + 1} = k right | X_n = m right) = leftlbrace begin{Array}{11} 1 & m = N text{et} k = N-1 1 & m = 0 text{et} k = 1 frac{N-m} {N} & 0 < m < N text{et} k = m + 1 frac{m}{N} & 0 < m < N text{et} k = m-1 0 & text{otherwise} end{Array} right. $ $ Ceci devient plus apparent en notant que $ frac{m}{N} $ est la probabilité de choisir une molécule du récipient A, et $ frac{N-m}{N} $ est la probabilité inverse de choisir une molécule du récipient B quand vous résolvez ce genre de problème, il aide à dessiner un diagramme avec les transitions d`État et les probabilités respectives, comme ceci: considérez qu`au début toutes les particules sont dans l`un des récipients. On s`attend à ce qu`au fil du temps le nombre de particules dans ce récipient approche N/2 {displaystyle N/2} et se stabilise près de cet État (les conteneurs auront approximativement le même nombre de particules). Toutefois, du point de vue mathématique, retourner à l`état initial est possible (même presque sûr). Du théorème de récurrence moyenne suit que même le temps attendu pour retourner à l`état initial est fini, et il est 2 N {displaystyle 2 ^ {N}}. En utilisant l`approximation de Stirling on trouve que si nous commençons à l`équilibre (nombre égal de particules dans les conteneurs), le temps attendu pour revenir à l`équilibre est asymptotiquement égal à π N/2 {displaystyle textstyle {sqrt {pi N/2}}}.